EXTRAIR A RAIZ QUADRADA... SEM USAR CALCULADORA??????

Cursava engenharia mecânica na UFRN lá para o ano de 1983, mais ou menos, quando houve uma greve de professores. Passados 30 dias, mediante entendimentos com a reitoria e sindicato, veio o ritual ( é costumeiro no Brasil) da reposição da carga horária atrasada e como sempre acontecia... aulas aos sábados.
Em uma dessas aulas, ocorreu que: para se chegar à resposta de um problema que continha reposta no livro, tinha-se que extrair a raiz quadrada de um certo número com aproximação a menos de um milésimo. Então, o professor perguntou – quem tem uma calculadora aí? Como ninguém havia levado uma, o professor disse: - que tipo de alunos são vocês, que vão estudar e não se armam de uma calculadora? E os alunos, dando o troco: - e que qualidade de professor é essa, que sai pra dar aula e não leva uma também? Brincadeiras à parte, o fato é que precisávamos do resultado para o término do problema proposto. O professor disse então: - quando eu estudei o assunto sobre extração de raízes quadradas, lembro que o meu professor me ensinou uma forma manual de se chegar ao resultado delas... com precisão de uma calculadora! Mas, não me lembro e portanto, o nosso probl... oi? O que foi Valdir? - Eu sei fazer a extração da raiz quadrada por esse processo! - Ah é? E você pode vir fazer ele aqui na lousa para calcular essa raiz quadrada para nós... Valdir? - Pois não! Eu fiz o cálculo e o resultado bateu! E assim, resolvi a falta da calculadora e o professor ainda me pediu para relembrá-lo sobre aquele método que passo agora a explaná-lo aqui.

Seja, por exemplo: o número... 40110 (radicando) cuja raiz quadrada, deverá ter uma precisão a menos de um milésimo. Como fazer o cálculo se não tivermos uma calculadora à mão? Lançamos mão do seguinte dispositivo...

1º – Como queremos a raiz com aproximação na casa dos
milésimos, devemos acrescentar após a vírgula (ou ponto) decimal
(nesse caso, está invisível logo após o zero à direita do número) um par de zeros para cada uma dessas casas decimais na raiz que queremos calcular (sempre à direita da marcação decimal de um número, deverá constar uma quantidade par de casas decimais). Feito isso, agora, separamos o número dado, no sentido da direita para a esquerda, conjuntos de pares de dígitos, assim:

utilizamos o então o dispositivo contendo no radicando a presença daquelas seis (04 é a 1ª) duplas de
algarismos.

2º – Começaremos a operação com o número formado pela 1ª dupla de dígitos à esquerda (a qual poderá ser incompleta, como nesse caso) o 4 e como é um quadrado perfeito usaremos o 2 que é a sua raiz quadrada exata (se o número não fosse um quadrado perfeito, então em vez do 2 usaria-mos um outro número, cujo quadrado, se aproximasse do valor do número, por exemplo: caso o número fosse 11 em lugar do 4, nesse caso o número utilizado seria o 3, pois o 3² = 9, que é o quadrado mais próximo do 11), o qual vai ser o 1º dígito da raiz para o número 40110 e como: 2² = 4, então, o 4 no radicando será subtraído desse quadrado e assim temos:

3º – juntamos à diferença de 4 – 4 = 0, os algarismos da 2ª dupla, que são: 01 e imediatamente, separamos o último algarismo da direita que é o 1. Temos na raiz aproximada 2 e tomamos o seu produto por 2 i. É: 2 x 2 = 4. Agora fazemos a divisão de 00 por 4, o que encontramos... 00 : 4 = 0. Assim... o zero vai juntar-se ao 2 na raiz parcial que agora passa a valer 20.

4º – Baixamos a próxima dupla de algarismos que são: 10, separamos o último algarismo na direita e o número formado à esquerda será dividido pelo produto de 20 x 2 = 40 i. É: 11 : 40 = 0. E mais uma vez, esse quociente zero irá se juntar ao número que está sendo a raiz parcial que é o 20 e assim, a nova raiz parcial será 200.

5º – O ritual de sempre: baixamos a próxima dupla que é: 00 (mas, ATENÇÃO! Essa dupla de algarismos encontra-se logo após a colocação da vírgula ou ponto decimal no radicando, por causa disso, devemos juntar aos algarismos da raiz parcial, à direita deles, também essa vírgula ou ponto decimal) juntando-se a 110, separamos o último algarismo à direita, o 0 e ficamos com 1100 que vai ser dividido por 200 x 2 = 400, daí... 1100 : 400 = 2 vale o quociente da divisão aproximada. Nesse caso o 2 encontrado vai juntar-se ao 400, obtêm-se… 4002 e fazemos... 4002 x 2 = 8004 e como esse produto é menor do que 11000 podemos levar o 2 (quociente aproximado de 1100 : 400) lá para a raiz parcial que se apresentará o valor de... 200,2 que é uma aproximação a menos de um décimo para a raiz do radicando. Nos casos ( pode acontecer) por exemplo: 4002 x 2 = 8804 e se 8004 fosse maior do que 11000? Então, faria-mos o abaixamento do valor daquele quociente em uma unidade e calcularia-mos assim... 4001 x 1 = 4001 onde, se esse valor ainda fosse maior que 11000, mais uma vez viria o abaixamento em uma unidade e novo produto... 4000 x 0 = 0 (bom, chegando ao quociente zero, o mesmo tem que se juntar à direita dos algarismos na raiz parcial) o qual seria mais um dígito na raiz parcial.

6º – Continuando... fazemos a subtração entre: 11000 – 8004 = 02996 e juntamos a ele a próxima dupla de algarismos no radicando, que é... 00 e formamos... 299600, separamos o último
algarismo da direita (o zero) e procuramos o quociente entre 29960 e o dobro do valor da raiz parcial (não consideramos a vírgula ou ponto decimal nessa hora)... 2002 x 2 = 4004, assim...
29960 : 4004 = 7 e na continuação... 40047 x 7 = 280329 e como da vez anterior, ele é menor que 299600... então levamos o 7 encontrado para se juntar aos outros algarismos da raiz parcial que passará a valer 200,27 agora já com uma aproximação a menos de um centésimo para o valor da raiz quadrada procurada para o radicando 40110,000000.

7º – Também, como da vez anterior, para continuar a procura, devemos achar a diferença entre... 299600 – 280329 = 019271, baixamos a próxima dupla do radicando... 00, separamos o algarismo da direita ( vai ser o zero) e vamos ver quanto dar o quociente entre 192710 e o dobro da raiz parcial ( sem a vírgula ou ponto decimal) até o momento, que é: 20027 x 2 = 40054, portanto, teremos: 192710 : 40054 = 4 e aí, fazemos... 400544 x 4 = 1602176 e ainda, como esse valor é menor que 1927100, desse modo obtemos mais um algarismo para a raiz quadrada procurada,

que já era igual a 200,27 e passa a ser... 200,274 e com essa aproximação a menos de um milésimo, que era a aproximação desejada desde o início das operações, podemos concluir o nosso trabalho afirmando que: a

raiz quadrada aproximada a menos de um milésimo para o número 40110... é: 200,274. Resultado esse que podemos conferir com o apresentado por uma calculadora, pois esse método manual permite dígito após dígito, atingir a mesma precisão de uma máquina c. q. d.